Framtiden

Jag läser Asimovs Foundation-serie vilket fick mig att tänka på framtiden. Närmare bestämt, är det möjligt för mig att beskriva framtiden för någon utan att denne då kan förändra utfallet? Exempel: Jag talar om för människa att hon kommer försova sig imorgon, men trots att hon är medveten om denna förutsägelse försover hon sig ändå.

Antag att $f$ och $g$ är funktioner med samma definitions och värdemängd, $C \times [0, 1]$ , där $C$ är mängden chattloggar. Både $f$ och $g$ är begränsade till att endast lägga till meddelanden i sin ingående chattlogg så att funktionerna kan liknas vid chattbottar med en extra reell in- och utsignal i intervallet $[0, 1]$ . Antag vidare att överföringen mellan $f$ s reella in- och utsignal är kontinuerlig. Vi återkopplar $f$ och $g$ som följer:

+----------------------------------------+
|  +-----+      Chattlogg       +-----+  |
+->|     |--------------------->|     |--+
   |  g  |  Tal mellan 0 och 1  |  f  |   
+->|     |--------------------->|     |--+
|  +-----+                      +-----+  |
+----------------------------------------+

$g$ inleder nu en konversation med $f$ :

$g$ : "Goddag $f$ , jag kan förutse vad du kommer välja för reell utsignal. Det finns inget du kan göra för att förhindra min förutsägelse från att infalla. Din utsignal kommer vara samma som det reella tal jag skickar dig parallellt med detta meddelande."

$g$ måste nu bestämma vilken förutsägelse i form av ett reellt tal som ska skickas till $f$ . Hur ska $g$ gå till väga? $g$ vet vilken chattlogg $c$ som $g$ har skickat $f$ . Betrakta därför funktionen $h: [0, 1] \to [0, 1]$ som tar ett reellt tal $r$ och avbildar det på reella tal som $f$ ger ut när $f$ appliceras på $c$ och $r$ . Enligt våra antaganden om $f$ är $h$ kontinuerlig. Enligt Brouwers fixpunktssats har $h$ en fixpunkt $r'$ . $g$ kan därför skicka värdet $r'$ till $f$ .

Enligt ovanstående måste nu $f$ svara med samma reella tal $r'$ . $f$ skriver också något i chatten, t.ex.

$f$ : "Fan också"

Ja, enda anledningen till att inkludera chattloggen $C$ var för att kunna antropomorfisera $f$ och $g$ . Slutsatsen blir dock att det är möjligt att känna till framtiden utan att kunna förändra den, åtminstone så länge våra hjärna är kontinuerliga och våra observations- och handlingsrymder kompakta.

Det är högst tvivelaktigt om människors hjärnor kan betraktas som kontinuerliga, även om det i fysikerkretsar skämtas om att alla verkliga fält är glatta. Ett bra exempel på en klass av agenter som däremot ofta uppfyller förutsättningarna för Brouwers eller någon annan fixpunktssats är dock artificiella neuronnät, specifikt sådana som inkluderar bildbehandling. Faltningsnät till exempel är kontinuerliga åtminstone så länge man inte tittar på implementationer i termer av bitar och flyttal.

Efter att ha kommit fram till dessa slutsatser gav jag mig ut på internet för att söka efter folk som tänkt i samma banor och hittade en artikel som i princip verkar presentera just argumentet ovan, med Brouwer och allt. Denna artikel publicerades år 1954 i tidskriften "The Journal of Political Economy", ett namn Asimov själv kunde hittat på.

Än så länge har vi enbart avhandlat existensen av en framtid som inte går att påverka. Avslutningsvis kan jag till den intresserade rekommendera denna artikel som tar sig an problemet att faktiskt finna en förutsägelse av framtiden. Genom att blanda in Axiom of Choice visar sig detta intressant nog inte alls vara så svårt som man kunde tänka sig.